Те полиномы, которые нечетны, автоматически ортогональны с Т0 даже без веса (Т0 и Т1, Т0 и Т3 и т.д.) - домножение на четную функцию не изменит общий ноль интерграла - как у Вас и получилось. А другим требуется все-таки домножение на весовую функцию, как и написано выше.
Цитата(Alexey Lukin @ Jul 25 2012, 00:06) Ксения, ортогональность этих полиномов надо понимать не в обычном смысле, а после домножения на корректирующую функцию: В дискретном же случае они ортогональны на специальной "кривой" сетке, но не на равномерной сетке. А вы мне можете этим способом показать, что T0 и T2 ортогональны друг другу? Тем более для такого простого случая, когда T0 единичен в любой своей точке, а T2 = 2x2-1.
Ксения, ортогональность этих полиномов надо понимать не в обычном смысле, а после домножения на корректирующую функцию: В дискретном же случае они ортогональны на специальной "кривой" сетке, но не на равномерной сетке.
Цитата(_Ivana @ Jul 24 2012, 23:38) Глупый вопрос навскидку - вы учлисразу при генерации матрицы? Нет, не делила и не учитывала. Нормировкой заниматься не вижу смысла - если вектора ортогональны, то они при любой нормировке таковы. В лучшем случае, этим можно было бы достигнуть, чтобы по диагонали были точные единицы. Но тогда внедиагональное "гадости" становятся только больше, а не меньше! Да и искать ошибку было бы только труднее, если бы туда еще каких-то расчетов насовала.Тут и без расчетов видны несуразности. Скажем, так бяка, что T0 и Т2 дают корреляцию = -0.3332. Взглянем еще раз на картиночку: T0 - это красная прямая линия, уровень 1. А T2 - это желтенький, на параболу похожий. Их корреляция в уме вычисляется, т.к. умножение на 1 тривиально. В результате чего должен получиться интеграл желтого. А вы видите как широко он своим языком ниже нуля погрузился? А выше оси только по крашки чуть-чуть выпирают. Ежу ясно, что инетеграл будут не нулевой, а сильно отрицательный. Что и имеет место в расчетах.На этой картинке (ее формум показывать не отказывается) T2 - зелененький.Т.е. это я к тому, что сумма почленных произведений красного T0 и зеленого T2 никак не может быть равна нулю - это даже на глаз видно. А значит, они не ортогональны, как их не масштабируй по высоте.
Глупый вопрос навскидку - вы учлиЦитатас весом h(x)=1/sqrt(1-x^2)сразу при генерации матрицы?
Полиномы Чебышева. Почему не ортогональны? Среди ортогональных многочленов очень часто упоминаются полиномы Чебышева (первого рода). Везде пишут примерно следующее:ЦитатаСвойства многочленов Чебышева.1. Система {Tn(x)}n=0,1,... ортогональна на отрезке [-1,1] с весом h(x)=1/sqrt(1-x2)Готовых функций, которые генеруют эти полиномы, всюду завались, и по сути все они делают одно и тоже. Короче говоря, сгенерила я эти полиномы от n=0 до n=5 включительно, представляя отрезок [-1,1] в виде массива дискретных элементов, достаточно длинного, чтобы эффект дескретизации сказывался слабо. Например, массив из gap=101 элемента (нечетное количество элементов выбирала для того, чтобы иметь среднюю точку). Номер элемента (i) пересчитывается в значение x из отрезка [-1,1] по формуле:x = (double)(2*i)/(gap-1) - 1.0;где: gap - длина массива.Т.е. 0-й элемент массива соответствует (x=-1.0), а последний 100-й соответствует (x=+1.0). Серединка (50-й элемент) соответствует x=0.Получилась матрица F, размером gap x 6. Если построить графики по столбцам той матрицы, то получим картинку, индентичную той, что нарисована а Википедии: (форум не хочет эту картинку показывать) Вроде бы теперь мне только жить, да радоваться . Только дернуло меня проверить эти вектора на ортогональность - вычислив продукт F*F' (размерность 6 x 6):Код 1.0000 -0.0000 -0.3200 0.0000 -0.0556 -0.0000 -0.0000 0.3400 -0.0000 -0.1878 0.0000 -0.0364 -0.3200 -0.0000 0.4722 -0.0000 -0.1686 -0.0000 0.0000 -0.1878 -0.0000 0.4914 -0.0000 -0.1619 -0.0556 0.0000 -0.1686 -0.0000 0.4981 -0.0000 -0.0000 -0.0364 -0.0000 -0.1619 -0.0000 0.5016 Тут я этот продукт еще на число gap поделила, чтобы длина вектора не сказывалась.И что вижу? Фигня какая-то... Ортогональны между собой лишь полиномы четных степеней с нечетными, а в остальных случах внедиагональные элементы слишком велики, чтобы их можно было списать на погрешность дискретизации. Впрочем, погрешность дискретизации можно еще понизить, увеличив длину вектора - тогда дискрета станет меньше. Проверила. При длине вектора gap=1001 имею:Код 1.0000 0.0000 -0.3320 0.0000 -0.0656 -0.0000 0.0000 0.3340 -0.0000 -0.1988 -0.0000 -0.0466 -0.3320 -0.0000 0.4672 -0.0000 -0.1798 0.0000 0.0000 -0.1988 -0.0000 0.4862 0.0000 -0.1734 -0.0656 -0.0000 -0.1798 0.0000 0.4926 -0.0000 -0.0000 -0.0466 0.0000 -0.1734 -0.0000 0.4955А при gap=10001:Код 1.0000 -0.0000 -0.3332 0.0000 -0.0666 -0.0000 -0.0000 0.3334 0.0000 -0.1999 0.0000 -0.0475 -0.3332 0.0000 0.4667 -0.0000 -0.1808 -0.0000 0.0000 -0.1999 -0.0000 0.4858 0.0000 -0.1745 -0.0666 0.0000 -0.1808 0.0000 0.4921 0.0000 -0.0000 -0.0475 -0.0000 -0.1745 0.0000 0.4950Куда еще дальше? Если отрезок [-1,1] представлен вектором, длиной в 10 тыс. элементов, то дискретизация становится исчезающе малой. А у меня корреляции от длины вектора практически не зависят. А корреляция между T0 и Т2 вообще ни в какие ворота не лезет -0.3332. Тем более что, если взять вместо полиномов Чебышева ряды Фурье, то даже на коротеньких массивах в 15-25 элементов ортогональность векторов очень хорошая.Значит, это не погрешность дискретизации. Тогда что?Где эта хваленая ортогональность, если я ее не вижу? Не исключаю, что я здесь что-то важное недопонимаю, а потому и обращаюсь за консультацией. Что происходит? Должны ли полиномы Чебышева (первого рода) так себя вести, или мне надо продолжать искать ошибку у себя?
Полная версия этой страницы:
Форум разработчиков электроники ELECTRONIX.ru > Полиномы Чебышева
Комментариев нет:
Отправить комментарий